Pensamiento Axiomático

David Hilbert

Título del original "Axiomatisches Denken", publicado en Mathematische Anncden – volumen 78 (1910). Págs. 405-415.

Esta conferencia fue pronunciada ante la Sociedad Matemática de Suiza, el 11 de setiembre de 1917, en Zürich.

A la manera como en la vida de los pueblos un pueblo particular puede prosperar tan sólo si están bien los pueblos vecinos, y como el interés de los Estados exige que reine el orden no solamente dentro de cada Estado sino también que las relaciones de los Estados entre sí estén debidamente ordenadas, así pasa aun en la vida de las ciencias.

Conociendo esto correctamente, los más notables cultivadores del pensamiento matemático han demostrado siempre gran interés en las leyes y en el orden de las ciencias vecinas y, sobre todo, han cultivado desde largo tiempo atrás, y en favor de la matemática misma, las relaciones con las ciencias vecinas, en especial con los grandes dominios de la física y teoría del conocimiento.

La esencia de estas relaciones y el fundamento de su fecundidad nos resultarán más perfectamente claros si describo a ustedes el método general de investigación que parece prevalecer cada día más en la matemática moderna. Me refiero al método axiomático.

Cuando yuxtaponemos los datos de un dominio científico, más o menos comprensivo, prestamente notamos que tales datos pueden ser ordenados. Tal orden se alcanza en cada caso con la ayuda de un cierto encasillado especial de conceptos, tal que a cada objeto particular de tal dominio científico corresponda un concepto de tal encasillado, y a cada dato dentro del dominio científico corresponda una relación lógica entre los conceptos.

Este encasillado especial de conceptos no es otra cosa sino la teoría de tal dominio científico.

Así es como se coordinan los datos geométricos para dar una geometría; los datos aritméticos, para dar una teoría de los números; los datos estáticos, mecánicos y electrodinámicos, para dar una teoría de la estática, mecánica y electrodinámica; o los datos de la física de los gases, para una teoría de los gases. Igualmente pasa con los dominios científicos de la termodinámica, de la óptica geométrica, de la teoría elemental de la radiación, de la conducción calorífica o también con el cálculo de probabilidades y la teoría de los conjuntos. Y hasta vale respecto de dominios matemáticos puros especiales, cual teoría de las superficies, teoría de las ecuaciones de Galois, teoría de los números primos, no menos que respecto de dominios científicos, remotos respecto de las matemáticas, cual algunas secciones de la psicofísica o teoría del dinero.

Cuando miramos de cerca una teoría determinada, advertimos siempre que unas pocas, y características, proposiciones del dominio científico, hacen de fundamento para la construcción del encasillado especial de los conceptos, y tales proposiciones alcanzan, ellas solas, para construir según principios lógicos el encasillado total.

Así basta enteramente en la geometría con el teorema de la linealidad de la ecuación del plano y con el de la transformación ortogonal de las coordenadas del punto para obtener la grandemente amplia ciencia de la geometría euclídea del espacio por los medios del análisis. Para la construcción de la teoría de los números basta con las leyes de cálculo y reglas para los números enteros. En la estática desempeña igual papel el teorema de paralelogramo de fuerzas; en la mecánica, parecidamente, las ecuaciones diferenciales del movimiento de Lagrange; y, en la electrodinámica, las ecuaciones de Maxwell, con la adición de la exigencia de la rigidez y carga del electrón. La termodinámica se puede edificar

completamente sobre el concepto de la función de energía y la definición de temperatura y presión como derivados de sus variables: entropía y volumen. En el centro de la teoría elemental de la radiación se halla el teorema de Kirchhoff sobre las relaciones entre emisión y absorción; en el cálculo de probabilidades es teorema fundamental la ley de errores de Gauss; en la teoría de los gases, el teorema de la entropía como logaritmo negativo de la probabilidad del estado; en la teoría de las superficies, la representación del elemento de arco mediante la forma cuadrática diferencial; en la teoría de la ecuación, el teorema sobre la existencia de raíces; en la teoría de los números primos, el teorema de la existencia y frecuencia de los lugares-cero de la función riemanna C(t)

Tales proposiciones fundamentales pueden ser consideradas, desde un primer punto de vista, cual los Axiomas del dominio científico especial. La ulterior evolución de cada dominio científico especial se basa únicamente en la ulterior elaboración lógica del ya señalado encasillado de conceptos. Más aún: en la matemática pura es tal punto de vista, el característico; a la correspondiente manera de trabajar debemos el poderoso desarrollo de la geometría, de la aritmética, de la teoría de las funciones y del análisis en su totalidad.

Con ello el problema de la fundamentación de los dominios científicos especiales habría hallado, en los casos enumerados, una solución; mas tal solución no fue sino provisional. En realidad, en cada uno de tales dominios científicos especialmente se hizo sentir la necesidad de fundamentar esas mismas proposiciones, consideradas cual axioma, y puestas de fundamento.

Así se llegó a "demostraciones" de la linealidad de la ecuación del plano y de la ortogonalidad de una transformación que expresara un movimiento; además, a "demostraciones" de las leyes aritméticas de cálculos, del paralelogramo de fuerzas, de las ecuaciones de movimiento de Lagrange, de la ley de Kirchhoff sobre emisión y absorción, de la ley de la entropía, y de la existencia de raíces de una ecuación.

Empero el examen crítico de tales "demostraciones" pone de manifiesto el que, de suyo, no son demostraciones, sino que, en el fondo, hacen posible tan sólo la reducción a ciertas proposiciones, más profundas, que, en adelante, por su parte, habrán de ser consideradas cual nuevos axiomas en lugar de las proposiciones demostrantes. De esta manera surgieron los ahora así llamados propiamente Axiomas de la geometría, aritmética, estática, mecánica, teoría de la radiación o termodinámica.

Estos axiomas forman un estrato más profundo de axiomas respecto de aquel otro estrato de axiomas que quedó caracterizado por las proposiciones anteriormente nombradas y puestas de fundamento en los dominios científicos especiales.

El modo de proceder del método axiomático, tal como se acaba aquí de formular, equivale a una refundamentación en profundidad de los fundamentos de los dominios científicos especiales, cual la que se hace necesaria para cualquier edificio en la medida en que, al irlo construyendo, se va elevando y, no obstante, se quiere garantizar su seguridad.

Si la teoría de un dominio científico, esto es: el encasillado de sus conceptos, ha de servir a su finalidad, a saber: a la orientación y orden, ha de satisfacer, sobre todo, a dos exigencias: primero, ha de proporcionar una mirada de conjunto sobre la dependencia, o correlativamente, independencia de las proposiciones de la teoría; y, segundo, una garantía de la incontradictoriedad de todas proposiciones de la teoría.

En especial, a los axiomas de cada teoría hay que ponerlos a prueba según estos dos puntos de vista.

Ocupémonos, ante todo, de la dependencia, o correlativamente, independencia de los axiomas.

El ejemplo clásico para probar la independencia de un axioma nos lo ofrece el axioma de las paralelas en geometría. La cuestión de si la proposición sobre las paralelas está ya determinada por los demás axiomas, la negó Euclides al poner tal proposición entre los axiomas.

El método de investigación de Euclides resultó ejemplar para la investigación axiomática; y, desde Euclides, es, a la vez, el caso modelo para una ciencia axiomatizada, en general.

Otro caso ejemplar para una investigación de la dependencia entre los axiomas lo presenta la mecánica clásica. De una manera transitoria se pudo, como lo advertimos anteriormente, tomar como axiomas válidos para la mecánica a las ecuaciones de movimiento de Lagrange; pero es posible ciertamente fundar completamente la mecánica sobre ellas en su formulación general para cualquiera clase de fuerzas. Pero una investigación más detenida muestra que resulta innecesario, para la construcción de la mecánica, presuponer fuerzas arbitrarias y condiciones adicionales arbitrarias, y, por ello, puede disminuirse el sistema de los presupuestos.

Tal reconocimiento lleva, por una parte, al sistema de axiomas de Boitzmann, que admite solamente fuerzas, en especial, fuerzas centrales; y al sistema de axiomas de Hertz, que elimina las fuerzas y le basta con condiciones adicionales y, en especial, con ligaduras rígidas. Ambos sistemas de axiomas constituyen, por ello, un estrato más profundo en la progresiva axiomatización de la mecánica.

Aceptemos, en la fundamentación de la teoría de las ecuaciones de Galois, como axioma, la existencia de raíces de una ecuación. Seguramente es este axioma dependiente, porque tal proposición existencial es demostrable por los axiomas aritméticos, como Gauss lo indicó el primero.

Parecida cosa sucede si quisiéramos aceptar, cual axioma en la teoría de los números primos, la proposición sobre la existencia de lugares-cero de la función riemanna.

Al progresar hacia el estrato más profundo de los axiomas puros aritméticos se haría necesario demostrar tal proposición sobre existencia; y tal demostración comenzaría por garantizarnos la seguridad de las consecuencias importantes, que habíamos ya comenzado por establecer, mediante su postulación, para la teoría de los números primos.

Interés especial para el tratamiento axiomático presenta la cuestión de la dependencia de las proposiciones de un dominio científico respecto del axioma de continuidad.

En la teoría de los números reales se demuestra que el axioma de medida, el llamado axioma de Arquímedes, es independiente del resto de los axiomas aritméticos.

Este reconocimiento es, notoriamente, de esencial importancia para la geometría; mas me parece ser también de principal interés para la física, porque nos lleva al siguiente resultado: que por adición de distancias terrestres alcancemos las dimensiones y distancias de los cuerpos en el espacio cósmico, esto es: que mediante medidas terrestres podamos medir las longitudes celestes, e igualmente el hecho de que las distancias en el interior del átomo se puedan expresar por la unidad de medida "metro", no es en manera alguna una simple consecuencia lógica de las proposiciones de congruencia de triángulos y de las configuraciones geométricas, sino, ante todo, un resultado de investigación empírica. La validez del axioma de Arquímedes en la naturaleza necesita, aun en el sentido señalado, tanto de una confirmación por el experimento, como lo necesita, en el sentido conocido, la proposición acerca de la suma de los ángulos en el triángulo.

Podría formular, en general, el axioma de la continuidad en física, de la siguiente manera: "Si para la validez de un enunciado físico se requiere un cierto grado arbitrario de exactitud, se pueden señalar pequeños dominios dentro de los cuales se puedan variar al arbitrio los presupuestos hechos para tal enunciado, sin que la desviación del enunciado traspase el grado de exactitud prescrito".

Este axioma no hace, en el fondo, más que expresar lo que hay inmediatamente en la esencia de experimento; ha sido desde siempre aceptado por los físicos, aunque hasta ahora no se lo haya formulado explícitamente.

Cuando, por ejemplo, según Planck, del axioma de la imposibilidad del Perpetuum mobile de segunda especie se deduce el segundo principio del calor, se emplea necesariamente el axioma de la continuidad.

Que en la fundamentación de la estática, en la demostración del teorema del paralelogramo de fuerza —al menos, al elegir de una manera la más natural los demás axiomas— sea necesario el axioma de continuidad, lo ha mostrado Hamel de manera muy interesante empleando para ello el teorema de la capacidad de buen orden del continuo.

Los axiomas de la mecánica clásica pueden adquirir una más honda fundamentación si, mediante el axioma de continuidad, se concibe descompuesto el movimiento continuo en movimientos cortos, sucesivos, rectilíneos, uniformes, producidos a tro zos por impulso, y, entonces, se aplica, como axioma mecánico esencial, el principio maximal de tser trand, en virtud del cual, después de cada choque, el movimiento que realmente adviene es siempre aquel en que la energía cinética del sistema se hace un máximum respecto de todos los movimientos compatibles con el principio de la conservación de la energía.

En las novísimas maneras de fundamentar la física, especialmente la electrodinámica —que son total e íntegramente teorías de continuidad, así que, por ello, necesitan en amplísimo grado de la exigencia de continuidad— no podría yo entrar aquí, porque tales investigaciones no están aún suficientemente acabadas.

Quiero examinar ahora el segundo punto de vista de los anteriormente nombrados, a saber, la cuestión sobre la incontradictori-edad de los axiomas. Es ella evidentemente de la máxima importancia porque la presencia de una contradicción en una teoría es un peligro evidente para la consistencia de la teoría entera.

El conocimiento de la incontradictoriedad interna está vinculado con dificultades aun dentro de teorías desde largo tiempo atrás reconocidas y ricas en consecuencias. Recuerdo la objeción de inversión y reversión en la teoría cinética de los gases.

Sucede frecuentemente que a la incontradictoriedad interna de una teoría se la tiene cual cosa evidente de por sí, cuando en verdad son necesarios para la demostración desarrollos matemáticos profundos.

Consideremos como ejemplo un problema de la teoría elemental de la conducción calorífica, a saber: la distribución de la temperatura en el interior de un cuerpo homogéneo cuya superficie es mantenida a temperatura variable determinadamente de un lugar a otro. De hecho, y sin más, la exigencia de mantener el equilibrio de la temperatura no encierra contradicción interna alguna en la teoría. Mas, para conocerlo es necesario demostrar que el bien conocido problema de los valores en la frontera de la teoría del potencial es siempre soluble: porque precisamente la solución de tal problema de valores fronterizos muestra que es posible en general una distribución de la temperatura que satisfaga a la ecuación del calor.

Pero ni tan sólo en física basta con que las proposiciones de una teoría concuerden entre sí; hay que exigir aún algo más; que no contradigan jamás a las proposiciones de un dominio vecino de ciencia.

Como hace un momento mostré, los axiomas de la teoría elemental de la radiación proporcionan, además de la fundamentación del principio de Kirchhoff sobre emisión y absorción, un teorema especial referente a la reflexión y refracción de rayos individuales, a saber, la proposición: si dos rayos de luz natural y de igual energía caen sobre un lado de la superficie que divide a dos medios en tales direcciones que uno de los rayos después de atravesarlos, el otro después de la reflexión tenga la misma dirección, el rayo que surge de la unión de ambos es, de nuevo, de luz natural y de igual energía. Esta proposición no está, como de hecho se ve, en contradicción alguna con la óptica, sino que puede ser deducida cual secuela de la teoría electromagnética de la luz.

Los resultados de la teoría emética de los gases consuenan, como es cosa sabida, perfectamente con la termodinámica.

Igualmente, la inercia electromagnética, y la teoría gravitatoria de Einstein son compatibles con los correspondientes conceptos de las teorías clásicas, ya que estas últimas pueden ser consideradas cual casos-límite de los conceptos más generales en las teorías nuevas.

Por el contrario: la teoría moderna de los acuanta y el progresivo conocimiento de la estructura interna del átomo ha conducido a leyes que contradicen directamente a la electrodinámica actual, basada esencialmente sobre las ecuaciones de Maxwell. Así que la electrodinámica actual necesita, como todos lo reconocen, una nueva fundamentación y esencial transformación.

Como se echa de ver por lo anterior, la eliminación de las contradicciones que se presentan en las teorías físicas ha de hacerse cambiando la elección de axiomas; y la dificultad consiste en dar con una elección tal que todas las leyes físicas observadas se deduzcan cual consecuencias lógicas de los axiomas elegidos.

Diferente es el caso de cuando en dominios científico-teóricos se presentan contradicciones. El ejemplo clásico de tal acaecimiento lo ofrece la teoría de los conjuntos, y, especialmente, la paradoja del conjunto de todos los conjuntos, que proviene ya de Cantor. Esta paradoja es de tanto peso que matemáticos bien notables, por ejemplo, Kronecker y Poincaré, se creyeron obligados a negar el derecho de existencia a la teoría íntegra de los conjuntos —una de las ramas más fecundas y potentes científicamente de la matemática en general.

Aun en esta precaria situación aportó su ayuda el método axiomático. Zermelo consiguió, mediante el establecimiento de axiomas adecuados delimitar por una parte la arbitrariedad de las definiciones de conjuntos, y, por otra, delimitar de manera determinada los enunciados permisibles acerca de sus elementos, desarrollando la teoría de los conjuntos de manera que desaparecieran las contradicciones dichas, permaneciendo, a pesar de tales restricciones, los mismos el alcance y capacidad de aplicación de la teoría de los conjuntos.

En todos los casos anteriores se trataba de contradicciones que se habían presentado durante el desarrollo de una teoría y, para cuya eliminación, la necesidad obligó a una transformación del sistema de axiomas. Pero no basta con evitar las contradicciones ya presentes, si se ha de restaurar la fama de las matemáticas como modelo de ciencia la más exacta, fama amenazada por ellas. La exigencia principal de la doctrina axiomática ha de ir más allá; esto es: llegar a saber que, en cada caso, dentro de un dominio científico resulta absolutamente imposible el que surjan contradicciones partiendo del sistema de axiomas establecido.

Respondiendo a esta exigencia he demostrado en Grundiagen der Geometrie la incontradictoriedad de los axiomas establecidos, mostrando que toda contradicción en las consecuencias de los axiomas geométricos se manifestaría inmediatamente en la aritmética del sistema de los números reales.

Aun respecto de los dominios de la ciencia física basta, evidentemente y siempre, con reducir la cuestión de la incontradictoriedad interna a la incontradictoriedad de los axiomas de la aritmética.

Así mostré yo la incontradictoriedad de los axiomas de la teoría elemental de la radiación, construyendo para ella su sistema de axiomas con partes diversas del análisis, presuponiendo para ello la incontradictoriedad del Análisis.

De manera parecida se puede y se debe proceder, según las circunstancias, en la construcción de una teoría matemática. Si, por ejemplo, en el desarrollo de la teoría de los grupos de Galois se considera como axioma la proposición sobre la existencia de raíces, o en la teoría de los números primos la proposición sobre la existencia de los lugares-cero de la función riemanna la demostración de la incontradictoriedad del sistema de axiomas se reduce, en cada caso, a demostrar la proposición riemanna soble la función S(t), con los medios del análisis, y con ello queda asegurada la perfección de la teoría.

También la cuestión de la incontradictoriedad del sistema de axiomas para los números reales se puede reconducir a la cuestión antes dicha sobre los números enteros. Tal es el mérito de las teorías de los números irracionales, por Weierstrass y Dedekind.

Únicamente en dos casos, a saber: cuando se trata de los axiomas de los números enteros mismos, y cuando de la fundamentación de la teoría de los conjuntos, este procedimiento de reconducción a un dominio diferente y especial de la ciencia no es, evidentemente, practicable, porque, a excepción de la lógica en general no hay ya ninguna disciplina a la que se pudiera apelar.

Empero, ya que la prueba de la incontradictoriedad es tema insoslayable, parece necesario axiomatizar a la lógica misma, y demostrar que teoría de los números, lo mismo que teoría de los conjuntos, son solamente partes de la lógica.

Este camino, preparado ya desde mucho atrás y no en mínima parte por las profundas investigaciones de Frege— ha sido el seguido, finalmente y con grandísimo éxito, por el sutil matemático y lógico Russell. En el perfeccionamiento de esta grandiosa empresa de Russell: la axiomatización de la lógica, pudiérase columbrar la coronación del trabajo de axiomatización en toda su generalidad.

Su perfeccionamiento, no obstante, necesitará aún de trabajos nuevos y desde múltiples puntos de vista. Una consideración más de cerca nos descubre presto que la cuestión de la incontradictoriedad en los números enteros y conjuntos no es una cuestión de suyo solitaria, sino que pertenece a un gran dominio de cuestiones dificilísimas cognoscitivo-teóricas de tinte específicamente matemático. Nombré, para caracterizar este dominio de cuestiones, el problema de la solubilidad, en principio, de cualquier cuestión matemática, el problema de la consecuente comprobación del resultado de una investigación matemática; además, la cuestión de un criterio de simplicidad en las demostraciones matemáticas; la cuestión sobre la relación entre contenido y formalismo en matemáticas y lógica, y finalmente el problema de la decisibilidad de una cuestión matemática mediante un número finito de operaciones.

No podemos darnos por contentos en la axiomatización de la lógica antes de que todas estas cuestiones hayan sido, en cuanto a su conexión, comprendidas y aclaradas.

Entre las cuestiones nombradas, la última —a saber, la cuestión sobre la decisibilidad mediante un número finito de operaciones— es la más conocida y la más frecuentemente discutida, porque toca profundamente a la esencia del pensamiento matemático.

Podría intentar aumentar el interés sobre ello, aludiendo a algunos problemas matemáticos más especiales en que juega un papel.

En la teoría de los invariantes algebraicos vale, como es conocido, la proposición fundamental de que hay siempre un número finito de invariantes enteros racionales, mediante los cuales se pueden expresar de manera entera racional todos los demás invariantes. La primera demostración general dada por mí de esta proposición satisface, creo, enteramente nuestras exigencias en cuanto a lo concerniente a simplicidad y transparencia. Pero es imposible transformar esta demostración de manera que nos proporcione un límite asignable para el número de los finitamente muchos invariantes del sistema total, y menos aún llegar a su establecimiento real. Son, más bien, consideraciones, completamente diversas, y nuevos principios los que han sido necesarios para llegar a conocer que el establecimiento del sistema íntegro de invariantes exige únicamente operaciones en número finito y que se halla por debajo de un límite indicable antes del cálculo.

El mismo caso advertimos en un ejemplo tomado de la teoría de las superficies. En la geometría de las superficies de cuarto orden hay una cuestión fundamental: la de que de cuántas capas, separadas entre sí, puede a lo más constar tal superficie.

Lo primero al contestar esta cuestión es demostrar que el número de capas de la superficie tiene que ser finito. Esto puede fácilmente hacerse por el método funcional-teórico, de la siguiente manera: Supóngase que haya infinitamente muchas capas, y elíjase dentro de cada parte del espacio delimitado por una capa, un punto. Un punto de condensación de estos infinitamente muchos puntos elegidos resultaría ser un punto de un tipo de singularidad que está excluido de una superficie algebraica.

Este método funcional-teórico no conduce, en modo alguno, a un límite superior para el número de capas de la superficie. Para esto hacen falta, más bien, ciertas consideraciones acerca del número de puntos de intersección, que son los que enseñan que el número de capas no puede ser mayor que 12.

El segundo método, enteramente diverso del primero, no puede ser aplicado para esto, y ni tampoco transformárselo de manera que haga posible la decisión de si existe realmente una superficie de cuarto orden con 12 capas.

Puesto que una forma cuaternaria de cuarto orden posee 35 coeficientes, podemos representarnos intuitivamente una superficie determinada de cuarto orden mediante un punto en un espacio de 34 dimensiones. El discriminante de la forma cuaternaria de cuarto orden es del grado 108 en los coeficientes de la misma. Puesto igual a cero, representa, por tanto, en el espacio 34-dimensional una superficie de 108° orden. Puesto que los coeficientes del 34-dimensional espacio son números enteros determinados, el carácter topológico de la superficie del discriminante se puede determinar exactamente según las reglas usuales para el espacio bi-tridimensional, de modo que, acerca de la naturaleza y significación de cada uno de los dominios parciales en que la superficie del discriminante descompone al espacio 34-dimensional podemos obtener exacto conocimiento.

Ahora bien: las superficies de cuarto orden, representadas por los puntos del correspondiente dominio parcial, poseen, ciertamente, todas ellas el mismo número de capas; y es, por ello, posible mediante un cálculo, finito, aunque muy pesado y largo, determinar si existe o no una superficie de cuarto orden con n^l2 capas.

La consideración geométrica indicada resulta ser un tercer camino para tratar nuestra cuestión acerca del número máximo de capas de una superficie de cuarto orden. Y demuestra la decisibilidad de tal cuestión mediante un número finito de operaciones. En principio, se ha alcanzado un adelanto notable en nuestro problema: que se lo ha reconducido a un problema del tipo del tema: calcular la cifra (10) (1010)10 en el desarrollo decimal de 7r,.—tema cuya solubilidad es patente, mas cuya solución resulta desconocida.

Haría, además, falta una investigación profunda, difícil, algebraico-geométrica, cual la hecha por Rohn, para llegar a ver que en una superficie de cuarto orden no son posibles 11 capas; mas, realmente, hay 10. Este cuarto método es el que comienza por aportar la completa solución del problema.

Estas especiales consideraciones muestran cuan diversos métodos de demostración son aplicables al mismo problema; y han de hacernos pensar en cuan necesario es estudiar en sí misma la esencia de la demostración matemática, si se quieren aclarar con éxito cuestiones cual la de decisibilidad mediante un número finito de operaciones.

Todas estas cuestiones de principio, como anteriormente las caractericé, y, entre ellas, la ahora mismo tratada sobre la decisibilidad por un número finito de operaciones, me parecen constituir un campo importante, recién abierto; y para la conquista de este campo hemos —tal es mi convencimiento— de hacer objeto de investigación el concepto de demostración específicamente matemática, precisamente como el astrónomo tiene que hacer entrar en sus consideraciones el movimiento de su propia posición; el físico, preocuparse de la teoría de su aparato; y el filósofo, criticar la razón misma.

La realización de este programa es, ciertamente, aun hoy día, problema no resuelto.

Para terminar querría resumir en algunas proposiciones mi concepción general sobre la esencia del método axiomático.

Creo: todo lo que puede llegar a ser objeto del pensamiento científico en general, apenas esté maduro para constituirse en teoría, cae bajo el método axiomático, y por ello, mediatamente bajo la matemática.

Por progresiva penetración en estratos cada vez más profundo de axiomas conseguimos, en el sentido explicado, vistas cada vez más profundas, también, de la esencia del pensamiento científico mismo, y conciencia siempre mayor de la unidad de nuestro saber.

Bajo el signo del método axiomático parece llamada la matemática a desempeñar un papel conductor en la ciencia en general.